Cálculo Ejemplos

$\int \frac{18 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $18$ es constante con respecto a $x$ , mueve $18$ fuera de la integral.

$18 \int \frac{\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{{(2 + \tan^{3} (x))}^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Entonces $d u_{2} = 3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = 2 + \tan^{3} (x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 + \tan^{3} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \tan^{3} (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + \tan^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Paso 2.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\tan (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2.1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\tan (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$0 + 3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Suma $0$ y $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Paso 2.1.4.2

Reordena los factores de $3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$18 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Paso 3.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${u_{2}}^{2}$ .

$18 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$18 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $18$ .

$\frac{18}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $18$ y $3$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 5.1.2.2.4

Divide $6$ por $1$ .

$6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$6 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 5.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $6 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ como $6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 \frac{1}{u_{2}} + C$

Paso 7.2.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 6}{u_{2}} + C$

Paso 7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{u_{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 + \tan^{3} (x)$ .

$- \frac{6}{2 + \tan^{3} (x)} + C$