Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

Paso 2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0$ .

$0$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Paso 7

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la derecha, los valores de la función aumentan sin cota.

$\infty$

Paso 8

Como los límites izquierdo y derecho no son iguales, el límite no existe.

$No existe$