Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 x^{2} + x$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$x = - \frac{1}{14}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{1}{14})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{14}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{14})}^{2}) - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (1 (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{14^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1^{2}}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.2.5

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{196}) - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.2.6

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.2.2.6.1

Factoriza $7$ de $196$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 (28)}) - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.2.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 \cdot 28}) - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.2.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14}$

Paso 3.2.3

Para escribir $- \frac{1}{14}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $28$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{14}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{14 \cdot 2}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $14$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{28}$

Paso 3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1 - 2}{28}$

Paso 3.2.6

Resta $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{- 1}{28}$

Paso 3.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{14}) = - \frac{1}{28}$

Paso 3.2.8

La respuesta final es $- \frac{1}{28}$ .

$- \frac{1}{28}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{28})$

Paso 5