Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} - 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.8

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.2.9

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Paso 1.3.2

Suma $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ y $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 u \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Combina $2$ y $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{3}{1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Paso 2.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + 0)$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) \cdot 1$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 3 x + 3 \cdot - 2$

Paso 2.4.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 3 x - 6$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.8

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.2.9

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Paso 4.1.3.2

Suma $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.1.1

Divide cada término en $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 5.3.1.2.1.2

Divide ${(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Paso 5.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 5.3.2

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.3.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$3 (2) - 6$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 - 6$

Paso 9.2

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, 2)$ en la primera derivada $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{3 {((0) - 2)}^{2}}{2}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.2.1.1

Resta $2$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{2}$

Paso 10.2.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.2.2.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (0) = \frac{12}{2}$

Paso 10.2.2.2.2

Divide $12$ por $2$ .

$f' (0) = 6$

Paso 10.2.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(2, \infty)$ en la primera derivada $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{3 {((4) - 2)}^{2}}{2}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.2.1.1

Resta $2$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}$

Paso 10.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Paso 10.3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.2.2.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{12}{2}$

Paso 10.3.2.2.2

Divide $12$ por $2$ .

$f' (4) = 6$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 10.4

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 2$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.5

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 11