Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

Paso 1

Sea $u_{1} = \ln (y)$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , de modo que $y d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = \ln (y)$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Paso 1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Paso 1.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ , $d u_{1}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Paso 2

Sea $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $1$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $u_{1}$ en $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 2.3

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $u_{1}$ en $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 2.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Paso 4

Evalúa $\ln (| u_{2} |)$ en $2$ y en $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Paso 6.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Paso 6.3

Divide $2$ por $1$ .

$\ln (2)$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (2)$

Forma decimal:

$0.69314718 \dots$