Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3}}{x + 2}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{3}}{x + 2}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x + 2}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x + 2} d x$

Paso 4

Divide $x^{3}$ por $x + 2$ .

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Paso 4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 4.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 4.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Paso 4.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 4.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} - 4 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 4.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Paso 4.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$

Paso 4.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$

Paso 4.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$
							+	$4 x$	+	$8$

Paso 4.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x + 8$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$
							-	$4 x$	-	$8$

Paso 4.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$
							-	$4 x$	-	$8$
									-	$8$

Paso 4.16

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 2 x d x + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Paso 7

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 \int x d x + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Paso 11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - \int \frac{8}{x + 2} d x$

Paso 12

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - (8 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Paso 13

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 8 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Paso 14

Sea $u = x + 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 14.1

Deja $u = x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 14.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 14.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 14.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 14.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 14.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 14.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 8 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 8 (\ln (| u |) + C)$

Paso 16

Simplifica.

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| u |) + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| x + 2 |) + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| x + 2 |) + C$

Paso 19

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{3}}{x + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| x + 2 |) + C$