Cálculo Ejemplos

$y'' + 3 y' + 2 y = 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$

Paso 2

Supón que todas las soluciones son en formato $y = e^{r x}$ .

Paso 3

Obtén la ecuación característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$ .

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Paso 3.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Paso 3.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$r^{2} e^{r x} + 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 6$

Paso 3.4

Elimina los paréntesis.

$r^{2} e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Paso 3.5

Factoriza $e^{r x}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Paso 3.5.2

Factoriza $e^{r x}$ de $3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Paso 3.5.3

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Paso 3.5.4

Factoriza $e^{r x}$ de $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 6$

Paso 3.5.5

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r + 2) = 6$

Paso 3.6

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} + 3 r + 2 = 6$

Paso 4

Resuelve $r$

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Paso 4.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} + 3 r + 2 - 6 = 0$

Paso 4.2

Resta $6$ de $2$ .

$r^{2} + 3 r - 4 = 0$

Paso 4.3

Factoriza $r^{2} + 3 r - 4$ con el método AC.

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Paso 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 4.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(r - 1) (r + 4) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 4 = 0$

Paso 4.5

Establece $r - 1$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 4.5.1

Establece $r - 1$ igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

Paso 4.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 1$

Paso 4.6

Establece $r + 4$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 4.6.1

Establece $r + 4$ igual a $0$ .

$r + 4 = 0$

Paso 4.6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - 4$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r - 1) (r + 4) = 0$ verdadera.

$r = 1, - 4$

Paso 5

Con los dos valores obtenidos de $r$ , se pueden construir dos soluciones.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

Paso 6

Según el principio de superposición, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

Paso 7

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 4 x}$