Cálculo Ejemplos

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 6$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

Paso 2

Expande $(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Paso 2.4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Paso 2.6

Suma $1$ y $2$ .

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $6$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Paso 2.8

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

Paso 2.9

Suma $12 u^{2}$ y $u^{2}$ .

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

Paso 6

Dado que $13$ es constante con respecto a $u$ , mueve $13$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 8.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 8.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 8.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 8.2.3

Combina $13$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$