Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $- 7 x + 5 x^{5}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $- 7 x$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $5 x^{5}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 5

Dado que $- 9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 9$ fuera de la integral.

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 6

Sea $u = - 9 x$ . Entonces $d u = - 9 d x$ , de modo que $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = - 9 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Paso 6.1.2

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 9$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{9}$ .

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $9$ .

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 11.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 11.3

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Paso 13

Reordena $- 7$ y $5 x^{4}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

Paso 14

Divide $5 x^{4} - 7$ por $x$ .

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Paso 14.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Paso 14.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $5 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Paso 14.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Paso 14.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $5 x^{4} + 0$ .

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Paso 14.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Paso 14.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

Paso 14.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

Paso 15

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Paso 16

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Paso 17

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Paso 18

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Paso 19

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

Paso 20

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 21

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 22

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

Paso 23

Simplifica.

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Paso 24

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 9 x$ .

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Paso 25

Reordena los términos.

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Paso 26

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$