Cálculo Ejemplos

$\int {(2 + e^{x})}^{- 6} e^{x} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 + e^{x}$ . Entonces $d u = e^{x} d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 + e^{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + e^{x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$e^{x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u^{- 6} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 6}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$ como $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{5}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C$

Paso 3.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + e^{x}$ .

$- \frac{1}{5 {(2 + e^{x})}^{5}} + C$