Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2$ at $x = - 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = - 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = - {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Paso 1.2

Simplifica $- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ .

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Paso 1.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Paso 1.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = {(- 1)}^{1 + 3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Paso 1.2.1.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$y = {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Paso 1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$y = 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Paso 1.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$y = 1 - 5 + 2$

Paso 1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.2.2.1

Resta $5$ de $1$ .

$y = - 4 + 2$

Paso 1.2.2.2

Suma $- 4$ y $2$ .

$y = - 2$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = - 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} - 5 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 3 x^{2} - 10 x$ y $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$- 3 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 3 \cdot 1 - 10 \cdot - 1$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1$

Paso 2.6.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$- 3 + 10$

Paso 2.6.2

Suma $- 3$ y $10$ .

$7$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $7$ y un punto dado $(- 1, - 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $7 \cdot (x + 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y + 2 = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 2 = 7 x + 7 \cdot 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$y + 2 = 7 x + 7$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 7 x + 7 - 2$

Paso 3.3.2.2

Resta $2$ de $7$ .

$y = 7 x + 5$

Paso 4