Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 t}{t - t^{2}} d t$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Factoriza $t$ de $t - t^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{4 t}{t^{1} - t^{2}} d t$

Paso 1.1.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 - t^{2}} d t$

Paso 1.1.3

Factoriza $t$ de $- t^{2}$ .

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 + t (- t)} d t$

Paso 1.1.4

Factoriza $t$ de $t \cdot 1 + t (- t)$ .

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

Paso 2

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \frac{1}{1 - t} d t$

Paso 3

Sea $u = 1 - t$ . Entonces $d u = - d t$ , de modo que $- d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = 1 - t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 3.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$- 4 \ln (| u |) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - t$ .

$- 4 \ln (| 1 - t |) + C$