Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$

Paso 1

Escribe $y = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ como una función.

$f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{2} - 3 x + \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int - 3 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 3 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| x |) + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| x |) + C$

Paso 9.2

Simplifica.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$