Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{6} [4 y - (y^{2} - 12)] d y$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{- 2}^{6} 4 y - (y^{2} - 12) d y$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 2}^{6} 4 y d y + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{- 2}^{6} y d y + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Paso 5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Paso 6

Multiplica $- (y^{2} - 12)$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} - - 12 d y$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} + 12 d y$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} d y + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - \int_{- 2}^{6} y^{2} d y + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Paso 13

Sustituye y simplifica.

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Paso 13.1

Evalúa $\frac{y^{2}}{2}$ en $6$ y en $- 2$ .

$4 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Paso 13.2

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $6$ y en $- 2$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Paso 13.3

Evalúa $12 y$ en $6$ y en $- 2$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4

Simplifica.

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Paso 13.4.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$4 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.2

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 13.4.2.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.2.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$4 (18 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$4 (18 - \frac{4}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 13.4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (18 - \frac{2}{1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$4 (18 - 1 \cdot 2) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (18 - 2) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.6

Resta $2$ de $18$ .

$4 \cdot 16 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.7

Multiplica $4$ por $16$ .

$64 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.8

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$64 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.9

Cancela el factor común de $216$ y $3$ .

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Paso 13.4.9.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.4.9.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$64 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.9.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$64 - (72 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.10

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$64 - (72 - \frac{- 8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$64 - (72 - - \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$64 - (72 + 1 (\frac{8}{3})) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.13

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$64 - (72 + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.14

Para escribir $72$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$64 - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.15

Combina $72$ y $\frac{3}{3}$ .

$64 - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$64 - \frac{72 \cdot 3 + 8}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.17

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.17.1

Multiplica $72$ por $3$ .

$64 - \frac{216 + 8}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.17.2

Suma $216$ y $8$ .

$64 - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.18

Para escribir $64$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.19

Combina $64$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 \cdot 3 - 224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.21

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.21.1

Multiplica $64$ por $3$ .

$\frac{192 - 224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.21.2

Resta $224$ de $192$ .

$\frac{- 32}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{32}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.23

Multiplica $12$ por $6$ .

$- \frac{32}{3} + 72 - 12 \cdot - 2$

Paso 13.4.24

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$- \frac{32}{3} + 72 + 24$

Paso 13.4.25

Suma $72$ y $24$ .

$- \frac{32}{3} + 96$

Paso 13.4.26

Para escribir $96$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + 96 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 13.4.27

Combina $96$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + \frac{96 \cdot 3}{3}$

Paso 13.4.28

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 32 + 96 \cdot 3}{3}$

Paso 13.4.29

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.29.1

Multiplica $96$ por $3$ .

$\frac{- 32 + 288}{3}$

Paso 13.4.29.2

Suma $- 32$ y $288$ .

$\frac{256}{3}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{256}{3}$

Forma decimal:

$85.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$85 \frac{1}{3}$

Paso 15