Cálculo Ejemplos

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Paso 1

Escribe $4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ como una función.

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Paso 4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Paso 5

Sea $u_{2} = \sec (3 x)$ . Entonces $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = \sec (3 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 5.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 5.1.2.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 5.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 5.1.3

Diferencia.

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Paso 5.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 5.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.3.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Paso 5.1.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Reescribe $4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

Paso 7.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (3 x)$ .

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

Paso 8

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$