Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 0}^{6} (\frac{3}{2}) \cdot k^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $k^{2}$ .

$\frac{3 k^{2}}{2}$

Paso 1.2

Reescribe la suma.

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$

Paso 2

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $k$ sea igual a $1$ .

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} = \sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} + \sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\frac{3}{2}$ fuera de la suma.

$(\frac{3}{2}) \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$

Paso 3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{3}{2}) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Suma $6$ y $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Paso 3.4.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.4.1.2.1

Multiplica $6$ por $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Paso 3.4.1.3

Suma $12$ y $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 \cdot 13}{6}$

Paso 3.4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $42$ por $13$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{6}$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 (2)}$

Paso 3.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 \cdot 2}$

Paso 3.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{546}{2}$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $546$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (273)}{2}$

Paso 3.4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 273}{2}$

Paso 3.4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{273}{2}$

Paso 4

Evalúa $\sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$ .

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Paso 4.1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2}}{2}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{2}$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0}{2}$

Paso 4.2.3

Divide $0$ por $2$ .

$0$

Paso 5

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$\frac{273}{2} + 0$

Paso 6

Suma $\frac{273}{2}$ y $0$ .

$\frac{273}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{273}{2}$

Forma decimal:

$136.5$

Forma de número mixto:

$136 \frac{1}{2}$