Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 6 x + 9}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - x - 2$ y $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2] - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Suma $2 x - 1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.13

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 + 0)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.2.14

Suma $2 x - 6$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Expande $(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1.2.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.7

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.8

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.9

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 18 x + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.10

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 18 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.3

Resta $12 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 6 x + 18 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.4

Suma $6 x$ y $18 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.5.1

Multiplica $- - x$ .

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Paso 1.3.2.1.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + 1 x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + x + 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.6

Expande $(- x^{2} + x + 2) (2 x - 6)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.4

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1.7.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.7

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 4 x + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.7.9

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 4 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.8

Suma $6 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x + 4 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.1.9

Suma $- 6 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 24 x - 9 + 0 + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2.2

Suma $- 13 x^{2} + 24 x - 9$ y $0$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 24 x - 9 + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Suma $- 13 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.4

Resta $2 x$ de $24 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 x - 9 - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.2.5

Resta $12$ de $- 9$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 5 \cdot - 21 = 105$ y cuya suma es $b = 22$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Factoriza $22$ de $22 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 (x) - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Reescribe $22$ como $7$ más $15$

$\frac{- 5 x^{2} + (7 + 15) x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 x^{2} + 7 x + 15 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 5 x^{2} + 7 x) + 15 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- 5 x + 7) - 3 (- 5 x + 7)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 5 x + 7$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.4.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.3.4.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 6 x + 3^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 1.3.4.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.4.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 1.3.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.3

Usa el teorema del binomio.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.4.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4.3

Multiplica $9$ por $6$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4.5

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}}$

Paso 1.3.4.4.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81}$

Paso 1.3.4.5

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}}$

Paso 1.3.4.6

Factoriza $x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}$ mediante el teorema del binomio.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(3 - x)}^{4}}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $x - 3$ y ${(3 - x)}^{4}$ .

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x) - 3)}{{(3 - x)}^{4}}$

Paso 1.3.5.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x) - 1 (3))}{{(3 - x)}^{4}}$

Paso 1.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))}{{(3 - x)}^{4}}$

Paso 1.3.5.4

Reordena los términos.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.5.5

Factoriza $- x + 3$ de $(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))$ .

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 1.3.5.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.5.6.1

Factoriza $- x + 3$ de ${(- x + 3)}^{4}$ .

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{(- x + 3) {(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.5.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{(- x + 3) {(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.5.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 5 x + 7) \cdot (- 1)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $- 5 x + 7$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 5 x + 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{- 5 x + 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 5 x$ .

$- \frac{- (5 x) + 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.9

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.10

Factoriza $- 1$ de $- (5 x) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.11

Reescribe $- (5 x - 7)$ como $- 1 (5 x - 7)$ .

$- \frac{- 1 (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 1.3.14

Multiplica $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$ por $1$ .

$\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (5 x - 7) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{({(- x + 3)}^{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(- x + 3)}^{3})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (5 x - 7) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (5 x - 7) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 7)) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7)) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.2.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} (- 7)) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.2.6

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.7.1

Suma $5$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{3} \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.2.7.2

Mueve $5$ a la izquierda de ${(- x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(- x + 3)}^{3} - (5 x - 7) \frac{d}{d x} {(- x + 3)}^{3}}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = - x + 3$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(- x + 3)}^{3} - (5 x - 7) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(- x + 3)}^{3} - (5 x - 7) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(- x + 3)}^{3} - (5 x - 7) (3 {(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(- x + 3)}^{3} - 3 (5 x - 7) ({(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.4.2

Factoriza ${(- x + 3)}^{2}$ de $5 {(- x + 3)}^{3} - 3 (5 x - 7) ({(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [- x + 3])$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza ${(- x + 3)}^{2}$ de $5 {(- x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3)) - 3 (5 x - 7) ({(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.4.2.2

Factoriza ${(- x + 3)}^{2}$ de $- 3 (5 x - 7) ({(- x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [- x + 3])$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3)) + {(- x + 3)}^{2} (- 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3)))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.4.2.3

Factoriza ${(- x + 3)}^{2}$ de ${(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3)) + {(- x + 3)}^{2} (- 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} [- x + 3]))$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3)))}{{(- x + 3)}^{6}}$

Paso 2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.1

Factoriza ${(- x + 3)}^{2}$ de ${(- x + 3)}^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3)))}{{(- x + 3)}^{2} {(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(- x + 3)}^{2} (5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3)))}{{(- x + 3)}^{2} {(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.5.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $- x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (- 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) (- 1 + 0)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Suma $- 1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) - 3 (5 x - 7) \cdot - 1}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 (- x + 3) + 3 (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 (- x) + 5 \cdot 3 + 3 (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{5 (- x) + 5 \cdot 3 + 3 (5 x) + 3 \cdot - 7}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.12.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 x + 5 \cdot 3 + 3 (5 x) + 3 \cdot - 7}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.3.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 x + 15 + 3 (5 x) + 3 \cdot - 7}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.3.1.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 x + 15 + 15 x + 3 \cdot - 7}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.3.1.4

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 x + 15 + 15 x - 21}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.3.2

Suma $- 5 x$ y $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x + 15 - 21}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.3.3

Resta $21$ de $15$ .

$f'' (x) = \frac{10 x - 6}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.4

Factoriza $2$ de $10 x - 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.12.4.1

Factoriza $2$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (5 x) - 6}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.4.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{2 (5 x) + 2 (- 3)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 2.12.4.3

Factoriza $2$ de $2 (5 x) + 2 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (5 x - 3)}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2] - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.7

Suma $2 x - 1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.10

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.12

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.13

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6 + 0)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.2.14

Suma $2 x - 6$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1.1

Expande $(x^{2} - 6 x + 9) (2 x - 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1.2.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1.2.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 6 \cdot 2 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.7

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} - 6 x \cdot - 1 + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.8

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 9 (2 x) + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.9

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 18 x + 9 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.2.10

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 12 x^{2} + 6 x + 18 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.3

Resta $12 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 6 x + 18 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.4

Suma $6 x$ y $18 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} - - x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1.5.1

Multiplica $- - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1.5.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + 1 x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.5.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + x - - 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 + (- x^{2} + x + 2) (2 x - 6)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.6

Expande $(- x^{2} + x + 2) (2 x - 6)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.2.1.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.3.2.1.7.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 6 + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.4

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.2.1.7.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot - 6 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.7

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 4 x + 2 \cdot - 6}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.7.9

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 4 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.8

Suma $6 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x + 4 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.1.9

Suma $- 6 x$ y $4 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} - 13 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x - 12$ .

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Paso 4.1.3.2.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 24 x - 9 + 0 + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.2.2

Suma $- 13 x^{2} + 24 x - 9$ y $0$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 24 x - 9 + 8 x^{2} - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.3

Suma $- 13 x^{2}$ y $8 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 24 x - 9 - 2 x - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.4

Resta $2 x$ de $24 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 x - 9 - 12}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.2.5

Resta $12$ de $- 9$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 5 \cdot - 21 = 105$ y cuya suma es $b = 22$ .

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Paso 4.1.3.3.1.1

Factoriza $22$ de $22 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 22 (x) - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.2

Reescribe $22$ como $7$ más $15$

$\frac{- 5 x^{2} + (7 + 15) x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 x^{2} + 7 x + 15 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 5 x^{2} + 7 x) + 15 x - 21}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- 5 x + 7) - 3 (- 5 x + 7)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 5 x + 7$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Paso 4.1.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.3.4.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1.3.4.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 6 x + 3^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.3.4.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 4.1.3.4.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.3.4.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.1.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 4.1.3.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(x - 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.3

Usa el teorema del binomio.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.4.4.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4.3

Multiplica $9$ por $6$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4.5

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.4.4.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81}$

Paso 4.1.3.4.5

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}}$

Paso 4.1.3.4.6

Factoriza $x^{4} - 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} - 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}$ mediante el teorema del binomio.

$\frac{(- 5 x + 7) (x - 3)}{{(3 - x)}^{4}}$

Paso 4.1.3.5

Cancela el factor común de $x - 3$ y ${(3 - x)}^{4}$ .

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Paso 4.1.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x) - 3)}{{(3 - x)}^{4}}$

Paso 4.1.3.5.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x) - 1 (3))}{{(3 - x)}^{4}}$

Paso 4.1.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))}{{(3 - x)}^{4}}$

Paso 4.1.3.5.4

Reordena los términos.

$\frac{(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.5.5

Factoriza $- x + 3$ de $(- 5 x + 7) (- 1 (- x + 3))$ .

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{{(- x + 3)}^{4}}$

Paso 4.1.3.5.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.5.6.1

Factoriza $- x + 3$ de ${(- x + 3)}^{4}$ .

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{(- x + 3) {(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.5.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(- x + 3) ((- 5 x + 7) \cdot (- 1))}{(- x + 3) {(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.5.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 5 x + 7) \cdot (- 1)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $- 5 x + 7$ .

$\frac{- 1 \cdot (- 5 x + 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{- 5 x + 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 5 x$ .

$- \frac{- (5 x) + 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.9

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.10

Factoriza $- 1$ de $- (5 x) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.11

Reescribe $- (5 x - 7)$ como $- 1 (5 x - 7)$ .

$- \frac{- 1 (5 x - 7)}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.1.3.14

Multiplica $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$5 x - 7 = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 7$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $5 x = 7$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $5 x = 7$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{5 x - 7}{{(- x + 3)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(- x + 3)}^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

${(- (x) + 3)}^{3} = 0$

Paso 6.2.1.1.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{3} = 0$

Paso 6.2.1.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

${(- (x - 3))}^{3} = 0$

Paso 6.2.1.2

Aplica la regla del producto a $- (x - 3)$ .

${(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

Paso 6.2.2

Divide cada término en ${(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ por ${(- 1)}^{3}$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en ${(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ por ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{{(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3}}{{(- 1)}^{3}} = \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de ${(- 1)}^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(- 1)}^{3} {(x - 3)}^{3}}{{(- 1)}^{3}} = \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide ${(x - 3)}^{3}$ por $1$ .

${(x - 3)}^{3} = \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

${(x - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Paso 6.2.2.3.2

Divide $0$ por $- 1$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Paso 6.2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.2.4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{7}{5}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{7}{5}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{2 (5 (\frac{7}{5}) - 3)}{{(- (\frac{7}{5}) + 3)}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 9.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 (\frac{7}{5}) - 3)}{{(- \frac{7}{5} + 3)}^{4}}$

Paso 9.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (7 - 3)}{{(- \frac{7}{5} + 3)}^{4}}$

Paso 9.1.2

Resta $3$ de $7$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(- \frac{7}{5} + 3)}^{4}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(- \frac{7}{5} + 3 \cdot \frac{5}{5})}^{4}}$

Paso 9.2.2

Combina $3$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(- \frac{7}{5} + \frac{3 \cdot 5}{5})}^{4}}$

Paso 9.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 4}{{(\frac{- 7 + 3 \cdot 5}{5})}^{4}}$

Paso 9.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.4.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(\frac{- 7 + 15}{5})}^{4}}$

Paso 9.2.4.2

Suma $- 7$ y $15$ .

$\frac{2 \cdot 4}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Paso 9.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{8}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{\frac{8^{4}}{5^{4}}}$

Paso 9.2.6

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{\frac{4096}{5^{4}}}$

Paso 9.2.7

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{\frac{4096}{625}}$

Paso 9.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8}{\frac{4096}{625}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$8 (\frac{625}{4096})$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $8$ de $4096$ .

$8 \frac{625}{8 (512)}$

Paso 9.5.2

Cancela el factor común.

$8 \frac{625}{8 \cdot 512}$

Paso 9.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{625}{512}$

Paso 10

$x = \frac{7}{5}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{7}{5}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{7}{5}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{{(\frac{7}{5})}^{2} - (\frac{7}{5}) - 2}{{(\frac{7}{5})}^{2} - 6 (\frac{7}{5}) + 9}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $5$ .

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $\frac{{(\frac{7}{5})}^{2} - \frac{7}{5} - 2}{{(\frac{7}{5})}^{2} - 6 (\frac{7}{5}) + 9}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5}{5} \cdot \frac{{(\frac{7}{5})}^{2} - \frac{7}{5} - 2}{{(\frac{7}{5})}^{2} - 6 (\frac{7}{5}) + 9}$

Paso 11.2.1.2

Combinar.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 ({(\frac{7}{5})}^{2} - \frac{7}{5} - 2)}{5 ({(\frac{7}{5})}^{2} - 6 (\frac{7}{5}) + 9)}$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- \frac{7}{5}) + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{5}$ al numerador.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (\frac{- 7}{5}) + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (\frac{- 7}{5}) + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 {(\frac{7}{5})}^{2} - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 (\frac{7^{2}}{5^{2}}) - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.2.4.2.1

Factoriza $5$ de $5^{2}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 (\frac{7^{2}}{5 \cdot 5}) - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{5 (\frac{7^{2}}{5 \cdot 5}) - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{7^{2}}{5} - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49}{5} - 7 + 5 \cdot - 2}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.4

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49}{5} - 7 - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.5

Para escribir $- 7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49}{5} - 7 \cdot \frac{5}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.6

Combina $- 7$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49}{5} + \frac{- 7 \cdot 5}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49 - 7 \cdot 5}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.8.1

Multiplica $- 7$ por $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{49 - 35}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.8.2

Resta $35$ de $49$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14}{5} - 10}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.9

Para escribir $- 10$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14}{5} - 10 \cdot \frac{5}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.10

Combina $- 10$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14}{5} + \frac{- 10 \cdot 5}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14 - 10 \cdot 5}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.12

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.4.12.1

Multiplica $- 10$ por $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{14 - 50}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.12.2

Resta $50$ de $14$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{\frac{- 36}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.4.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{5 (\frac{7^{2}}{5^{2}}) + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.5.2.1

Factoriza $5$ de $5^{2}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{5 (\frac{7^{2}}{5 \cdot 5}) + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{5 (\frac{7^{2}}{5 \cdot 5}) + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{7^{2}}{5} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5.3

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + 5 (- 6 (\frac{7}{5})) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5.4

Multiplica $- 6 (\frac{7}{5})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.5.4.1

Combina $- 6$ y $\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + 5 (\frac{- 6 \cdot 7}{5}) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5.4.2

Multiplica $- 6$ por $7$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + 5 (\frac{- 42}{5}) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.2.5.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + 5 (\frac{- 42}{5}) + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} - 42 + 5 \cdot 9}$

Paso 11.2.5.6

Multiplica $5$ por $9$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} - 42 + 45}$

Paso 11.2.5.7

Para escribir $- 42$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} - 42 \cdot \frac{5}{5} + 45}$

Paso 11.2.5.8

Combina $- 42$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49}{5} + \frac{- 42 \cdot 5}{5} + 45}$

Paso 11.2.5.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49 - 42 \cdot 5}{5} + 45}$

Paso 11.2.5.10

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.10.1

Multiplica $- 42$ por $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{49 - 210}{5} + 45}$

Paso 11.2.5.10.2

Resta $210$ de $49$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161}{5} + 45}$

Paso 11.2.5.11

Para escribir $45$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161}{5} + 45 \cdot \frac{5}{5}}$

Paso 11.2.5.12

Combina $45$ y $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161}{5} + \frac{45 \cdot 5}{5}}$

Paso 11.2.5.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161 + 45 \cdot 5}{5}}$

Paso 11.2.5.14

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.14.1

Multiplica $45$ por $5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{- 161 + 225}{5}}$

Paso 11.2.5.14.2

Suma $- 161$ y $225$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- \frac{36}{5}}{\frac{64}{5}}$

Paso 11.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{36}{5} \cdot \frac{5}{64}$

Paso 11.2.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.2.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{36}{5}$ al numerador.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- 36}{5} \cdot \frac{5}{64}$

Paso 11.2.7.2

Factoriza $4$ de $- 36$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{4 (- 9)}{5} \cdot \frac{5}{64}$

Paso 11.2.7.3

Factoriza $4$ de $64$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{4 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 16}$

Paso 11.2.7.4

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{4 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 16}$

Paso 11.2.7.5

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- 9}{5} \cdot \frac{5}{16}$

Paso 11.2.8

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 11.2.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- 9}{5} \cdot \frac{5}{16}$

Paso 11.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7}{5}) = - 9 (\frac{1}{16})$

Paso 11.2.9

Combina $- 9$ y $\frac{1}{16}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{- 9}{16}$

Paso 11.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{9}{16}$

Paso 11.2.11

La respuesta final es $- \frac{9}{16}$ .

$y = - \frac{9}{16}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x^{2} - 6 x + 9}$ .

$(\frac{7}{5}, - \frac{9}{16})$ es un mínimo local

Paso 13