Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (x + \sqrt{x}) d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int_{0}^{1} x + \sqrt{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$ y $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Paso 6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.2.1

Evalúa $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.5

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.6

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.2.7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.7.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.7.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + 2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.9.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 + 4}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.9.2

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.12

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.13

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.2.14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.14.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.2.2.14.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.2.2.15

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Paso 6.2.2.16

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + 0)$

Paso 6.2.2.17

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{7}{6} - 0$

Paso 6.2.2.18

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{7}{6} + 0$

Paso 6.2.2.19

Suma $\frac{7}{6}$ y $0$ .

$\frac{7}{6}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{6}$

Forma decimal:

$1.1\overline{6}$

Forma de número mixto:

$1 \frac{1}{6}$

Paso 8