Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{8}{x^{2} - 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{x}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} - 4) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{8}{x^{2} - 4}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{x}{x - 2}$ por $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x^{2} - 4) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 2^{+}} x - 2 - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.5

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.8

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.10.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{8 (2 - 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.10.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.10.1.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.10.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.10.1.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.10.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.10.1.5

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.10.1.6

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.2.10.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2 \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Paso 2.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Paso 2.1.3.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Paso 2.1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

Paso 2.1.3.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

Paso 2.1.3.6

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Paso 2.1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Paso 2.1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Paso 2.1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Paso 2.1.3.8.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Paso 2.1.3.8.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.8.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Paso 2.1.3.8.3.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Paso 2.1.3.8.4

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.8.5

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.8.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 (x - 2)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.3.6

Multiplica $8$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x (x^{2} - 4)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.7

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.9

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.11

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.12

Multiplica $x^{2} - 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.4.13

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2}) - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.5.2.3

Suma $8$ y $4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.9

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Paso 2.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Paso 2.3.14

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

Paso 2.3.15

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Paso 2.3.16

Multiplica $x^{2} - 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + x^{2} - 4}$

Paso 2.3.17

Simplifica.

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Paso 2.3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} - 4}$

Paso 2.3.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Paso 2.3.17.3

Combina los términos.

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Paso 2.3.17.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Paso 2.3.17.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Paso 2.3.17.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Paso 2.3.17.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Paso 2.3.17.3.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} - 4 x + x^{2} - 4}$

Paso 2.3.17.3.6

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} - 3 x^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{- lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3.1.2.1.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3.1.2.1.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3.1.2.1.4

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 2^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 3 \cdot 4 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3.1.2.3.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 12 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3.1.2.3.2

Suma $- 12$ y $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Paso 3.1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Paso 3.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Paso 3.1.3.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Paso 3.1.3.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 3.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 3.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Paso 3.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Paso 3.1.3.7.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{0}{12 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Paso 3.1.3.7.1.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 1 \cdot 4}$

Paso 3.1.3.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 4}$

Paso 3.1.3.7.2

Resta $8$ de $12$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 3.1.3.7.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.7.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Paso 3.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Paso 3.3.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Paso 3.3.4

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Paso 3.3.5

Suma $- 6 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Paso 3.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 4 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 3.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.7.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 3.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 3.3.7.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 3.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 3.3.8.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 3.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 3.3.8.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 3.3.9

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + 0}$

Paso 3.3.10

Suma $6 x - 4$ y $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $- 6$ y $6 x - 4$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{6 x - 4}$

Paso 3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) - 4}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

Paso 3.4.2.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

Paso 3.4.2.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x}{3 x - 2}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $- 3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{3 x - 2}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - 2}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Paso 4.4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$- 3 \frac{2}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$- 3 \frac{2}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $2$ y $3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $- 1$ de $3 \cdot 2$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 \cdot 2}$

Paso 6.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 2$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Paso 6.1.4

Reescribe $- (- 3 \cdot 2 + 2)$ como $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ .

$- 3 \frac{2}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Paso 6.1.5

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Paso 6.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ .

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

Paso 6.1.6.2

Cancela el factor común.

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

Paso 6.1.6.3

Reescribe la expresión.

$- 3 \frac{1}{- 1 (- 3 + 1)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- 3 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 3 + 1)}$

Paso 6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 (- \frac{1}{- 3 + 1})$

Paso 6.3

Suma $- 3$ y $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{- 2})$

Paso 6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 3 (- - \frac{1}{2})$

Paso 6.5

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 (1 (\frac{1}{2}))$

Paso 6.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Paso 6.6

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Paso 6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2}$