Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2}$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ en $2$ y en $0$ .

$(\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

Paso 4.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Paso 4.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Paso 4.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2}$

Paso 4.2.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

Paso 4.3.2.2

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

Paso 4.3.3

Suma $\frac{π}{4}$ y $0$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{2}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{π}{8}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{π}{8}$

Forma decimal:

$0.39269908 \dots$

Paso 6