Cálculo Ejemplos

$\sin (x) \cdot e^{x}$

Paso 1

Escribe $\sin (x) \cdot e^{x}$ como una función.

$f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Paso 5

Reordena $e^{x}$ y $\cos (x)$ .

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Paso 6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (x)$ y $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Paso 8

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Paso 8.2

Multiplica $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Paso 9

Al resolver $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ , obtenemos que $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Paso 10

Reescribe $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ como $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$