Cálculo Ejemplos

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

Paso 1

Reordena $e^{- θ}$ y $\cos (2 θ)$ .

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (2 θ)$ y $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

Paso 3

Dado que $- - 2$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $- - 2$ fuera de la integral.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Paso 4.3

Reordena $e^{- θ}$ y $\sin (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (2 θ)$ y $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

Paso 6

Dado que $- 1 \cdot 2$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $- 1 \cdot 2$ fuera de la integral.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Paso 7

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Paso 7.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Paso 7.4

Multiplica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

Paso 8

Al resolver $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ , obtenemos que $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ como $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Factoriza $e^{- θ}$ de $- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

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Paso 9.2.1.1

Factoriza $e^{- θ}$ de $- \cos (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Paso 9.2.1.2

Factoriza $e^{- θ}$ de $2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Paso 9.2.1.3

Factoriza $e^{- θ}$ de $e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Paso 9.2.2

Factoriza $- 1$ de $- \cos (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Paso 9.2.3

Factoriza $- 1$ de $2 \sin (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Paso 9.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Paso 9.2.5

Reescribe $- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ como $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Paso 9.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$