Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x^{5} + x^{2} + 4}{5 x^{2} - 2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x^{5} + x^{2} + 4$ y $g (x) = 5 x^{2} - 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + x^{2} + 4] - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{5} + x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{5}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x + 0) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $20 x^{4} + 2 x$ y $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 2]}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.11

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.12

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x + 0)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.13

Simplifica la expresión.

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Paso 2.13.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - (4 x^{5} + x^{2} + 4) (10 x)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 2.13.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5} + x^{2} + 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) + (- 10 (4 x^{5}) - 10 x^{2} - 10 \cdot 4) x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Expande $(5 x^{2} - 2) (20 x^{4} + 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4} + 2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4} + 2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} (20 x^{4}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{5 \cdot 20 x^{2} x^{4} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{5 \cdot 20 (x^{4} x^{2}) + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \cdot 20 x^{4 + 2} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2.3

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{5 \cdot 20 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.3

Multiplica $5$ por $20$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 x^{2} (2 x) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{2} x - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.2.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{1 + 2} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 5 \cdot 2 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.6

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 2 (20 x^{4}) - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.7

Multiplica $20$ por $- 2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 2 (2 x) - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.8

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{5}) x - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $x^{5}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x \cdot x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{5}$ .

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Paso 3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 (x^{1} x^{5})) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{1 + 5}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 10 (4 x^{6}) - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $4$ por $- 10$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{2} x - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x \cdot x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 (x^{1} x^{2}) - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{1 + 2} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 10 \cdot 4 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $- 10$ por $4$ .

$\frac{100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Combina los términos opuestos en $100 x^{6} + 10 x^{3} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 10 x^{3} - 40 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta $10 x^{3}$ de $10 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} + 0 - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.2.2

Suma $100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6}$ y $0$ .

$\frac{100 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x^{6} - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $40 x^{6}$ de $100 x^{6}$ .

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 4 x - 40 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Resta $40 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.4

Factoriza $4 x$ de $60 x^{6} - 40 x^{4} - 44 x$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $4 x$ de $60 x^{6}$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) - 40 x^{4} - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $4 x$ de $- 40 x^{4}$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) - 44 x}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Factoriza $4 x$ de $- 44 x$ .

$\frac{4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (15 x^{5}) + 4 x (- 10 x^{3})$ .

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$

Paso 3.4.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (15 x^{5} - 10 x^{3}) + 4 x (- 11)$ .

$\frac{4 x (15 x^{5} - 10 x^{3} - 11)}{{(5 x^{2} - 2)}^{2}}$