Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{\tan (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${\sin (x)}^{\tan (x)}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ ; para ello, mueve $\tan (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (\sin (x))}$

Paso 3

Reescribe $\tan (x) \ln (\sin (x))$ como $\frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Paso 4.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (\sin (x))$ disminuye sin cota.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 4.1.3.1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

Paso 4.1.3.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Paso 4.1.3.1.3

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

Paso 4.1.3.2

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ desde la derecha, los valores de la función aumentan sin cota.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 4.1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Paso 4.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 4.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Paso 4.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Paso 4.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Paso 4.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Paso 4.3.4

Combina $\frac{1}{\sin (x)}$ y $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Paso 4.3.5

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

Paso 4.3.6

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Paso 4.3.7

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Paso 4.3.8

Simplifica.

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Paso 4.3.8.1

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Paso 4.3.8.2

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Paso 4.3.9

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.10

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.11

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.12

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.14

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.15

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.16

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.17

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.19

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.20

Simplifica.

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Paso 4.3.20.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.20.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.20.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.20.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.20.1.4

Aplica la identidad pitagórica.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.20.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.3.20.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

Paso 4.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

Paso 4.5

Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $\sin^{2} (x)$ y $\sin (x)$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x)}}$

Paso 4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.6.2.1

Multiplica por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Paso 4.6.2.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Paso 4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin (x)}{1}}$

Paso 4.6.2.4

Divide $\cos (x) \sin (x)$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Paso 5.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Paso 5.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (0)}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{- 1 \cdot \sin (0)}$

Paso 7.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- 1 \cdot 0}$

Paso 7.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$