Cálculo Ejemplos

$\int \frac{t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Paso 1

Divide $t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1$ por $t^{2} + 3 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $t^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $t^{2}$ .

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $t^{3} + 3 t^{2} + 0$ .

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 t^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $t^{2}$ .

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 t^{2} + 6 t + 0$ .

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

$t$

$1$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int t + 2 + \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int t d t + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

Paso 5

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Factoriza $t$ de $t^{2} + 3 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + 3 t}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $t$ de $3 t$ .

$\frac{t + 1}{t \cdot t + t \cdot 3}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza $t$ de $t \cdot t + t \cdot 3$ .

$\frac{t + 1}{t (t + 3)}$

Paso 5.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$

Paso 5.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $t (t + 3)$ .

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.4

Cancela el factor común de $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.5

Cancela el factor común de $t + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.5.2

Divide $t + 1$ por $1$ .

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1

Cancela el factor común de $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.6.1.2

Divide $A (t + 3)$ por $1$ .

$t + 1 = A (t + 3) + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$t + 1 = A t + A \cdot 3 + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.6.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$t + 1 = A t + 3 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.6.4

Cancela el factor común de $t + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$t + 1 = A t + 3 A + \frac{B (t (t + 3))}{t + 3}$

Paso 5.1.6.4.2

Divide $(B) (t)$ por $1$ .

$t + 1 = A t + 3 A + (B) (t)$

$t + 1 = A t + 3 A + B t$

Paso 5.1.7

Mueve $3 A$ .

$t + 1 = A t + B t + 3 A$

Paso 5.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $t$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 5.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $t$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 3 A$

Paso 5.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

Paso 5.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 3 A$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Reescribe la ecuación como $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$1 = A + B$

Paso 5.3.1.2

Divide cada término en $3 A = 1$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1

Divide cada término en $3 A = 1$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Paso 5.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Paso 5.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

Paso 5.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{3}$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = A + B$ por $\frac{1}{3}$ .

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3

Resuelve $B$ en $1 = \frac{1}{3} + B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} + B = 1$ .

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Resta $\frac{1}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2.4

Resta $1$ de $3$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Paso 5.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3}$

Paso 5.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

Paso 5.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Paso 5.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Paso 5.5.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{t}$ .

$\frac{1}{3 t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

Paso 5.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3 t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t + 3}$

Paso 5.5.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{t + 3}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} + \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Paso 8

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

Paso 9

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} d t$

Paso 10

Sea $u = t + 3$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Deja $u = t + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Diferencia $t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [t + 3]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [3]$

Paso 10.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 3$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| t + 3 |) + C$