Cálculo Ejemplos

$\int \frac{- 4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Paso 1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$- (4 \int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x)$

Paso 4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Paso 5

Sea $u = 1 - 2 x^{2}$ . Entonces $d u = - 4 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 1 - 2 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 5.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Paso 5.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - 4 x$

Paso 5.1.4

Resta $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 4 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 4 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{4}) d u$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 4 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Paso 6.3

Mueve $4$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$- 4 \int - \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 4 (- \int \frac{1}{4 u^{2}} d u)$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$4 \int \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.1.3

Multiplica $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 10.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 10.2.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 10.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 10.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Paso 12

Reescribe $- u^{- 1} + C$ como $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{1 - 2 x^{2}} + C$