Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$ , $y (2) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3}$

Paso 1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = - \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{2}{3} \int x d x)$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 2.3.4.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.4.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{3}$ al numerador.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = - x^{2} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $2$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ .

$1 = \sqrt[3]{- 2^{2} + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$ .

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$

Paso 6.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{- 2^{2} + K}}^{3} = 1^{3}$

Paso 6.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{- 2^{2} + K}$ como ${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 2^{2} + K)}^{1} = 1^{3}$

Paso 6.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

${(- 1 \cdot 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

${(- 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Paso 6.3.2.1.3

Simplifica.

$- 4 + K = 1^{3}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 + K = 1$

Paso 6.4

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 1 + 4$

Paso 6.4.2

Suma $1$ y $4$ .

$K = 5$

Paso 7

Sustituye $5$ por $K$ en $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $5$ por $K$ .

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 5}$