Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Paso 1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Paso 1.11.2

Multiplica $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.2

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Como no hay ningún valor que haga que la primera derivada sea $0$ , no hay puntos de inflexión.

Sin puntos de inflexión

Paso 4