Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{2} \sqrt{2 x + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 2 + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $4$ y $1$ .

$u_{upper} = 5$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $5$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Paso 7.2

Combinar.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Paso 7.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Paso 7.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Paso 7.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 7.4

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 \cdot (5^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 7.4.3

Multiplica $5^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Paso 7.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$3.39344662 \dots$

Paso 9