Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Paso 1.1.3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 1.1.3.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Paso 1.1.3.1.6

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0^{2}}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sqrt{1 + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Paso 1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

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Paso 1.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 1.3.5.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 1.3.5.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 1.3.5.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Paso 1.3.5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Paso 1.3.5.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Paso 1.3.5.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Paso 1.3.5.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Paso 1.3.5.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))}$

Paso 1.3.5.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))}$

Paso 1.3.5.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Paso 1.3.5.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Paso 1.3.5.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.5.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Paso 1.3.5.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))}$

Paso 1.3.5.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))}$

Paso 1.3.5.12

Suma $0$ y $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))}$

Paso 1.3.5.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))}$

Paso 1.3.5.14

Combina $2$ y $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}$

Paso 1.3.5.15

Combina $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}$

Paso 1.3.5.16

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.5.17

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.5.18

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.3.6

Resta $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x})$

Paso 1.5

Reescribe ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x})$

Paso 1.6

Combina factores.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Paso 1.6.2

Combina $- 2$ y $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Paso 1.6.3

Combina $x$ y $\frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Paso 1.7.2

Divide $- 2 \sqrt{1 + x^{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \sqrt{1 + x^{2}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}$

Paso 2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- 2 \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0^{2}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0}$

Paso 4.2

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 \sqrt{1}$

Paso 4.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$