Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\sec (x))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\sec (x)))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 3.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 3.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 3.5

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (x) (\sec (x) \tan (x))$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1.1

Reordena $\cos (x)$ y $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) \tan (x)$

Paso 3.6.1.2

Reescribe $\cos (x) \sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) \tan (x)$

Paso 3.6.1.3

Cancela los factores comunes.

$1 \tan (x)$

Paso 3.6.2

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x)$

Paso 3.6.3

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.6.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \tan (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan (x)$