Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.2

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 8.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 8.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int x^{- 2} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

Paso 10.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + 1 x^{- 1} + C$

Paso 10.2.4

Multiplica $x^{- 1}$ por $1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + x^{- 1} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + x^{- 1} + C$