Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} + 2$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.10.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Resta $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

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Paso 1.1.3.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.3

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.1.3.5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.1.3.5.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 2) (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.3.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 3.2.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 3.2.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4

Evalúa $\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{{(2)}^{2} + 2}{2 (2) - 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 + 2}{2 (2) - 1}$

Paso 4.1.2.1.2

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{6}{2 (2) - 1}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{6}{4 - 1}$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{6}{3}$

Paso 4.1.2.3

Divide $6$ por $3$ .

$2$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2}{2 (- 1) - 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 + 2}{2 (- 1) - 1}$

Paso 4.2.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3}{2 (- 1) - 1}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{- 2 - 1}$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$\frac{3}{- 3}$

Paso 4.2.2.3

Divide $3$ por $- 3$ .

$- 1$

Paso 4.3

Evalúa en $x = \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{1 - 1}$

Paso 4.3.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{0}$

Paso 4.3.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(2, 2), (- 1, - 1)$

Paso 5