Cálculo Ejemplos

$\ln (3 + x - x^{3})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 + x - x^{3}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 + x - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 + x - x^{3}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 + x - x^{3}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 + x - x^{3}$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} \frac{d}{d x} [3 + x - x^{3}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + x - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 - (3 x^{2}))$

Paso 2.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 - 3 x^{2})$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 - 3 x^{2})$ .

$(1 - 3 x^{2}) \frac{1}{3 + x - x^{3}}$

Paso 3.2

Multiplica $1 - 3 x^{2}$ por $\frac{1}{3 + x - x^{3}}$ .

$\frac{1 - 3 x^{2}}{3 + x - x^{3}}$