Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} + 3 d x$

Paso 1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Paso 2

Sea $u = x - 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Paso 2.3

Resta $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Paso 2.5

Resta $3$ de $4$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 3}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{4} 3 d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + \int_{0}^{4} 3 d x$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + 3 x]_{0}^{4}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $1$ y en $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + 3 x]_{0}^{4}$

Paso 5.2

Evalúa $3 x$ en $4$ y en $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.4

Multiplica $- 27$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 27 (\frac{1}{3}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.5

Combina $27$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $27$ y $3$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} + \frac{9}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.6.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + 9 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.7

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.8

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.10.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{1 + 27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.10.2

Suma $1$ y $27$ .

$\frac{28}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.11

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{28}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Paso 5.3.12

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{28}{3} + 12 + 0$

Paso 5.3.13

Suma $12$ y $0$ .

$\frac{28}{3} + 12$

Paso 5.3.14

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.3.15

Combina $12$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Paso 5.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{28 + 12 \cdot 3}{3}$

Paso 5.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.17.1

Multiplica $12$ por $3$ .

$\frac{28 + 36}{3}$

Paso 5.3.17.2

Suma $28$ y $36$ .

$\frac{64}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{64}{3}$

Forma decimal:

$21.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$21 \frac{1}{3}$

Paso 7