Cálculo Ejemplos

$lim_{z \to 3} \frac{z - 3}{\sqrt{4 - z} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{z \to 3} z - 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $z$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{z \to 3} z - lim_{z \to 3} 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $z$ se acerca a $3$ .

$\frac{lim_{z \to 3} z - 1 \cdot 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $z$ mediante el ingreso de $3$ para $z$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $z$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - lim_{z \to 3} 1}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 3} 4 - z} - lim_{z \to 3} 1}$

Paso 1.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $z$ se aproxima a $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 3} 4 - lim_{z \to 3} z} - lim_{z \to 3} 1}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $z$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 - lim_{z \to 3} z} - lim_{z \to 3} 1}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $z$ se acerca a $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 - lim_{z \to 3} z} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.3.6.1

Evalúa el límite de $z$ mediante el ingreso de $3$ para $z$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 - 3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.2.1.1

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.6.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{z \to 3} \frac{z - 3}{\sqrt{4 - z} - 1} = lim_{z \to 3} \frac{\frac{d}{d z} [z - 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{z \to 3} \frac{\frac{d}{d z} [z - 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $z - 3$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3]$ .

$lim_{z \to 3} \frac{\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1 + \frac{d}{d z} [- 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $z$ es $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Paso 1.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{4 - z} - 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - z}$ como ${(4 - z)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d z} [{(4 - z)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ y $g (z) = 4 - z$ .

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Paso 1.3.7.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - z$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [4 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [4 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - z$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [4 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - z$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.4

Como $4$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $4$ con respecto a $z$ es $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- z$ con respecto a $z$ es $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d z} [z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.13

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{{(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.15

Combina $\frac{{(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{{(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.16

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{- 1 \cdot {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.17

Reescribe $- 1 {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{- {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.18

Mueve ${(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{- 1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.7.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{z \to 3} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{z \to 3} 1 (- (2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 1.5

Reescribe ${(4 - z)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{4 - z}$ .

$lim_{z \to 3} 1 (- (2 \sqrt{4 - z}))$

Paso 1.6

Combina factores.

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Paso 1.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{z \to 3} 1 (- 2 \sqrt{4 - z})$

Paso 1.6.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{z \to 3} - 2 \sqrt{4 - z}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $z$ .

$- 2 lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z}$

Paso 2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 3} 4 - z}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $z$ se aproxima a $3$ .

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 3} 4 - lim_{z \to 3} z}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $z$ se acerca a $3$ .

$- 2 \sqrt{4 - lim_{z \to 3} z}$

Paso 2.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.1

Evalúa el límite de $z$ mediante el ingreso de $3$ para $z$ .

$- 2 \sqrt{4 - 3}$

Paso 2.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.5.2.1

Resta $3$ de $4$ .

$- 2 \sqrt{1}$

Paso 2.5.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$