Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}}]$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x^{\frac{1}{2}}}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 13

Combina $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 15

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 16

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 17

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 18

Multiplica $\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Paso 19

Simplifica los términos.

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Paso 19.1

Combinar.

$\frac{2 (\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Paso 19.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Paso 19.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Paso 19.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Paso 19.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Paso 20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{2 x}$

Paso 21

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{2 x}$

Paso 22

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{2 x}$

Paso 23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{2 x}$

Paso 24

Simplifica el numerador.

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Paso 24.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{2 x}$

Paso 24.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{2 x}$

Paso 25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{2 x}$

Paso 26

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{2 x}$

Paso 27

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 28

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2}$ y $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}}{2 x}$

Paso 29

Simplifica la expresión.

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Paso 29.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}}{2 x}$

Paso 29.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 30

Factoriza $2$ de $- 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 31

Cancela los factores comunes.

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Paso 31.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Paso 31.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 31.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 32

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 33

Simplifica.

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Paso 33.1

Simplifica el numerador.

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Paso 33.1.1

Factoriza $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ de $e^{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 33.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 33.1.1.2

Factoriza $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ de $- \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + e^{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 33.1.1.3

Factoriza $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ de $e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + e^{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 33.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Paso 33.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 33.2

Combina $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ y $\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Paso 33.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 33.4

Combinar.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Paso 33.5

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 33.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 33.5.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 33.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 33.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 33.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 33.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Paso 33.5.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Paso 33.6

Multiplica $e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ por $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Paso 33.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$