Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x^{2}}{2 - x^{2}}$

Paso 1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{2}}{2 - x^{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 2 - x^{2}$ .

$2 \frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{(2 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $2 - x^{2}$ .

$2 \frac{2 \cdot (2 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.7

Multiplica.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 5

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 6

Combina $2$ y $\frac{2 (2 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2 (2 (2 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 ((2 \cdot 2 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x) + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 (4 x) + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 x + 2 (2 (- (x \cdot x^{2}))) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.4.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 x + 2 (2 (- (x^{1} x^{2}))) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{1 + 2})) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{3})) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{8 x + 2 (- 2 x^{3}) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.1.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{8 x - 4 x^{3} + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{8 x - 4 x^{3} + 4 x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.2

Combina los términos opuestos en $8 x - 4 x^{3} + 4 x^{3}$ .

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Paso 7.4.2.1

Suma $- 4 x^{3}$ y $4 x^{3}$ .

$\frac{8 x + 0}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.4.2.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$\frac{8 x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

Paso 7.5

Reordena los términos.

$\frac{8 x}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$