Cálculo Ejemplos

$y = (x^{2} + x + 1) (x - 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} + x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Paso 2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x^{2} + x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Paso 2.4.2

Multiplica $x^{2} + x + 1$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + 0)$

Paso 2.9

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.4.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1 \cdot 1$

Paso 3.4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1$

Paso 3.4.8

Suma $- 2 x$ y $x$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1$

Paso 3.4.9

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x + 1 - x - 1$

Paso 3.4.10

Resta $x$ de $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 1 - 1$

Paso 3.4.11

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} + 1 - 1$

Paso 3.4.12

Resta $1$ de $1$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 3.4.13

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$