Cálculo Ejemplos

$\cos (x y) = x^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Paso 2.6.2

Reordena los términos.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 2 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 2 x$

Paso 5.2

Suma $y \sin (x y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (x y) = 2 x + y \sin (x y)$

Paso 5.3

Divide cada término en $- x y' \sin (x y) = 2 x + y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- x y' \sin (x y) = 2 x + y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y)$ .

$\frac{- x y' \sin (x y)}{- x \sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $\sin (x y)$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2}{- \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Separa las fracciones.

$y' = \frac{2}{- 1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Convierte de $\frac{1}{\sin (x y)}$ a $\csc (x y)$ .

$y' = \frac{2}{- 1} \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.4

Divide $2$ por $- 1$ .

$y' = - 2 \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.5

Cancela el factor común de $\sin (x y)$ .

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Paso 5.3.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$y' = - 2 \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Paso 5.3.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$y' = - 2 \csc (x y) + \frac{y}{- x}$

Paso 5.3.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - 2 \csc (x y) - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc (x y) - \frac{y}{x}$