Cálculo Ejemplos

$y = \ln (t \cdot 5^{t})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = t \cdot 5^{t}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t \cdot 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 5^{t}$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t \frac{d}{d t} [5^{t}] + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \cdot 1)$

Paso 4.2

Multiplica $5^{t}$ por $1$ .

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5))) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $t$ y $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{t}{t \cdot 5^{t}} (5^{t} \ln (5)) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Paso 5.2.2

Combina $5^{t}$ y $\frac{t}{t \cdot 5^{t}}$ .

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}} \ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}}$ y $\ln (5)$ .

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $5^{t}$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Paso 5.2.5.2

Divide $\ln (5)$ por $1$ .

$\ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

Paso 5.2.6

Combina $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ y $5^{t}$ .

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Paso 5.2.7

Cancela el factor común de $5^{t}$ .

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Paso 5.2.7.1

Cancela el factor común.

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

Paso 5.2.7.2

Reescribe la expresión.

$\ln (5) + \frac{1}{t}$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{t} + \ln (5)$