Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (f (x)) = \frac{d}{d y} (e^{x y})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $f (x)$ es $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$e^{x y} (x + y x')$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Paso 3.5.2

Reordena los términos.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$ .

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$

Paso 5.2

Reordena los factores en $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ .

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{f}{x}$

Paso 5.4

Resta $x e^{x y}$ de ambos lados de la ecuación.

$y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$

Paso 5.5

Divide cada término en $y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ por $y e^{x y}$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ por $y e^{x y}$ .

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $e^{x y}$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.2

Combinar.

$x' = \frac{f \cdot 1}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.3

Multiplica $f$ por $1$ .

$x' = \frac{f}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.4

Cancela el factor común de $e^{x y}$ .

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Paso 5.5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Paso 5.5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x}{y}$

Paso 5.5.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$