Cálculo Ejemplos

$y = x^{\sin (2 x + 1)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\sin (2 x + 1)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.1.1

Reescribe $x^{\sin (2 x + 1)}$ como $e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}]$

Paso 3.1.2

Expande $\ln (x^{\sin (2 x + 1)})$ ; para ello, mueve $\sin (2 x + 1)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (2 x + 1)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Paso 3.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Paso 3.5

Combina $\sin (2 x + 1)$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x + 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Paso 3.6.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

Paso 3.7

Diferencia.

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Paso 3.7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Paso 3.7.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Paso 3.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Paso 3.7.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])))$

Paso 3.7.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + 0)))$

Paso 3.7.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \cdot 2))$

Paso 3.7.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x + 1)$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (2 \cdot \cos (2 x + 1)))$

Paso 3.8

Para escribir $\ln (x) (2 \cos (2 x + 1))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \frac{\ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x})$

Paso 3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$

Paso 3.10

Combina $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ y $\frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x)}{x}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + 2 \ln (x) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Paso 3.11.1.1.2

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Paso 3.11.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

Paso 3.11.1.3

Reordena los factores en $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + x e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1)}{x}$

Paso 3.11.2

Reordena los términos.

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

Paso 3.11.3

Factoriza $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ de $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ .

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Paso 3.11.3.1

Factoriza $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ de $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

Paso 3.11.3.2

Factoriza $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ de $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Paso 3.11.3.3

Factoriza $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ de $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))$ .

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$