Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - 2}{x^{2} + x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{2 e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - 2}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{2 x} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.3.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.5

Suma $4 e^{2 x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x}}{2 x + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x}}{2 x + 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$4 \frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$4 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{e^{2 \cdot 0}}{2 lim_{x \to 0} x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$4 \frac{e^{2 \cdot 0}}{2 \cdot 0 + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{e^{0}}{2 \cdot 0 + 1}$

Paso 4.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{1}{1})$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$