Cálculo Ejemplos

$y = x^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Paso 5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.4

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 5.4.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(0)}^{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0$

Paso 9.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $4 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32$

Paso 10.2.2.3

La respuesta final es $- 32$ .

$- 32$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $4 x^{3}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8$

Paso 10.3.2.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $32$ .

$32$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un mínimo local.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11