Cálculo Ejemplos

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 1

Escribe $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ como una función.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Paso 4

Sea $u = 1 + \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 1 + \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Paso 4.1.4

Suma $0$ y $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \sin (x)$ .

$\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

Paso 7

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$F (x) =$ $\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$