Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Paso 4.2

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int - \csc^{2} (x) d x$

Paso 6

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int - \csc^{2} (x) d x$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\tan (x) + C - \int \csc^{2} (x) d x$

Paso 8

Como la derivada de $- \cot (x)$ es $\csc^{2} (x)$ , la integral de $\csc^{2} (x)$ es $- \cot (x)$ .

$\tan (x) + C - (- \cot (x) + C)$

Paso 9

Simplifica.

$\tan (x) + \cot (x) + C$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \cot (x) + C$