Cálculo Ejemplos

$(x + 3) e^{- 2 x}$

Paso 1

Escribe $(x + 3) e^{- 2 x}$ como una función.

$f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int (x + 3) e^{- 2 x} d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x + 3$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Paso 5

Dado que $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Paso 7

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 7.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 8.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Paso 12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Reescribe $(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como $- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Paso 13.2

Simplifica.

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Paso 13.2.1

Combina $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ y $x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Paso 13.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Paso 15

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$