Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x^{2}}{{(3 x^{3} - 2)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} - 2)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x^{3} - 2$ . Entonces $d u = 9 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 x^{3} - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x^{3} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$9 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{9}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}} \cdot 9} d u$

Paso 3.2

Mueve $9$ a la izquierda de $u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{9 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{9}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{9}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $3$ .

$\frac{3}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.2.1

Mueve $u^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Paso 5.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Paso 5.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ con respecto a $u$ es $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $\frac{1}{3} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{3}{3} u^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} u^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 7.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 7.2.3

Multiplica $u^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$u^{\frac{1}{3}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{3} - 2$ .

${(3 x^{3} - 2)}^{\frac{1}{3}} + C$