Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

Paso 1

Sea $u = t + 1$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = t + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = t + 1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Paso 1.3

Suma $1$ y $1$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = t + 1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 1 + 1$

Paso 1.5

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = x^{2} + 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Expande $(2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1 + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1) u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.8

Resta $1$ de $2$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 3.10

Suma $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ y $2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 0 d u$

Paso 3.11

Suma $2 u^{\frac{1}{2}}$ y $0$ .

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{2}^{x^{2} + 2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Paso 6

Combina $\frac{2}{3}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{x^{2} + 2})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $x^{2} + 2$ y en $2$ .

$2 ((\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3})$

Paso 7.2.1.4

Suma $2$ y $3$ .

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

Paso 7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Paso 7.2.3

Combina $2$ y $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})}{3}$

Paso 8

Reordena los términos.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})$ .

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Paso 9.2.1

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Paso 9.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Paso 9.2.3

Combina $\frac{4}{3}$ y ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

Paso 9.3

Multiplica $\frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$ .

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Paso 9.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Paso 9.3.2

Multiplica $2$ por $2^{\frac{5}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Paso 9.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3}$

Paso 9.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3}$

Paso 9.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3}$

Paso 9.3.2.4

Suma $2$ y $5$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$

Paso 9.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{7}{2}}}{3}$